Механика полета: от основ до классификации ракет

и пассивный участки. В момент выключения двигателя управление ракетой заканчивается и для БР происходит отделение головной части. Пассивным участком полёта (траектории) АВD, в противоположность активному, называется участок, на котором маршевый двигатель ЛА не работает и аппарат движется по инерции за счет запаса кинетической (скорость) и потенциальной (высота полета) энергии, приобретенного на активном участке траектории. Ракета совершает движение по баллистической кривой. На пассивном (эллиптическом) участке траектории на ракету вне атмосферы действует только силы гравитации (сила тяжести G). На пассивном атмосферном участке траектории на ЛА (ракета, ГЧ или спускаемый аппарат) действуют и сила тяжести, и сила аэродинамического сопротивления. Баллистическая траектория и точка ее пересечения с поверхностью Земли (D) зависят от координат ракеты, величины и направления ее скорости в момент выключения двигателя (конечные параметры). То есть задача управления баллистическими ракетами состоит в том, чтобы к моменту выключения двигателя ракета была выведена в расчетную точку пространства (Xк, Yк) и имела при этом расчетную по величине и направлению скорость движения. Если эти условия не соблюсти, то ошибка уже не может быть исправлена (ракета не попадет в цель), так как на пассивном участке траектории ракета не управляется. Параметры активного участка траектории УБР (рис. 35) φ – угол тангажа – угол между продольной осью ракеты и линией горизонта точки старта. Θ – угол траектории (угол наклона траектории к горизонту) – угол между вектором скорости и линией горизонта точки старта в плоскости стрельбы. υ – угол траектории относительно местного горизонта – угол между вектором скорости и линией местного горизонта. δ – полярный угол, характеризует наклонение плоскости местного горизонта к плоскости точки старта. α – угол атаки – угол между вектором скорости и продольной осью ракеты (для плоской задачи). Требования к траектории 1. Программа полета должна обеспечивать минимум рассеивания траектории в конце АУТ. В связи с этим угол траектории Θ в конце АУТ должен быть оптимальным. Анализ траектории показывает, что значение оптимального угла Θ может определяться: – с точки зрения максимальной дальности полета; – с точки зрения минимального рассеивания точек попадания. Известно, что эти значения угла Θ не совпадают между собой. Будем учитывать оптимальное значение угла Θ, полученное из условий максимальной дальности полета. При сравнительно малых дальностях (100 … 300 км) угол тангажа φ_к в момент выключения двигателя близок к 45°. При больших дальностях он уменьшается и может быть равным 17° … 25°. 2. Стартовый участок тяжелых (баллистических) ракет – вертикальный, а время движения на вертикальном участке невелико. Причины использования вертикального старта: – обеспечение устойчивости движения ракеты в начале полета при малых скоростях; – ракета проходит наиболее плотные слои атмосферы по кратчайшему расстоянию, с относительно небольшой скоростью и при нулевых углах атаки (это сводит к минимуму аэродинамическое сопротивление и нагрев ракеты); – при вертикальном старте конструкция ракеты испытывает в основном осевые перегрузки, поэтому конструкция может не иметь большую поперечную жесткость (уменьшается стартовая масса ракеты); – удобство старта ракеты с горизонтального стола пускового устройства (упрощается проектирование и изготовление пускового устройства, которое удерживает ракету перед стартом сь помощью одних только хвостовых опор). 3. Траектория движения ракеты на АУТ не должна иметь резких перегибов. Математически это означает, что должны быть наложены ограничения на первую и вторую производные от угла траектории Θ. Известно, что V∙dθ/dt=W_n. Здесь W_n=|W|=g∙|n| – нормальное ускорение, где |n| – коэффициент перегрузки. Таким образом, первая производная определяет нормальное ускорение Wn и позволяет определить силу, действующую на корпус ракеты при маневрах. 4. При выводе уравнений движения баллистических ракет предполагается, что ракета является абсолютно жестким телом, т.е. не учитывают упругость корпуса ракеты и наличие жидкости в баках. Использование формулы Циолковского при проектировании ракет Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик. Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение: m_н/m_к =e^(V_к/I) (1) Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения: m_пг – масса полезного груза; m_k – масса конструкции ракеты; m_т – масса топлива. Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде: m_k=m_т/k Где k – коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции (коэффициент конструктивного совершенства). При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента k. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости большего размера и массы, что ведёт к снижению значения k). Конструктивное совершенство определяется общим уровнем развития техники на данном этапе развития техники. Так, например, для различных блоков РН «Сатурн-V» k = 0,061…0,127. Уравнение (1) может быть записано в виде: (m_пг+m_т+m_т/k)/(m_пг+m_т/k)=e^(V_к/I), что путём элементарных преобразований приводится к виду: m_т=(m_пг∙(e^(V_к/I)-1))/(k+1-e^(V_к/I) ) (3) Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданной массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента k. Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы: k+1-e^(V_к/I)>0, иначе говоря, k>e^(V_к/I)-1 (4) Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости V_к при заданных значениях удельного импульса I и коэффициента k. Если неравенство не выполняется, то заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости. Пример расчёта массы ракеты Требуется вывести искусственный спутник Земли массой m_пг=10 т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс I=2900 м/c. Коэффициент k=9 – это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя. Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь – вдвое ниже). Характеристическая скорость, таким образом, равна 〖 V〗_к=8359,4 м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина e^(V_к/I)=17,86. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно. Расчёт для двухступенчатой ракеты. Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двухступенчатой ракеты 〖 V〗_к=4179,7 м/c. На этот раз e^(V_к/I)=4,23, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-й ступени получаем: m_т2=(10∙9∙(4.23-1))/(9+1-4,23)=50,3 т; m_k2=50,3/9=5,6 т; полная масса 2-й ступени составляет 55,9 т. Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем: m_т1=((10+55,6)∙9∙(4.23-1))/(9+1-4,23)=331,3 т; m_k1=331,3/9=36,8т; полная масса 1-й ступени составляет 368,1 т; общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10 + 55,9 + 368,1 = 434 т. Аналогичным образом выполняются расчёты для большего количества ступеней. В результате получаем: Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т. Четырёхступенчатой – 294,2 т. Пятиступенчатой – 281 т. На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с большим числом ступеней имеет меньшую массу. Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты k остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это – сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями – переходниками – несущими конструкциями. Каждая из них должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента k, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается. Анализ баллистических возможностей ракет говорит о следующем: Примерно одинаковую массу при массе полезной нагрузки m_пн = 500 … 1000 кг имеют: одноступенчатые ракеты с ЖРД и двухступенчатые с РДТТ в диапазоне максимальных дальностей полета L_max= 1000 … 4000 км; двухступенчатые ракеты с ЖРД и трехступенчатые ракеты с РДТТ в диапазоне L_max = 4000 … 10000 км. При дальностях L_max = 4000 … 10000 км у ракет с ЖРД оптимальное число ступеней близко к двум-трем, а для ракет с РДТТ – к трем-четырем. При этом приращения скорости, сообщаемые ступенями для двух- и трехступенчатых ракет, имеют различные пропорции (табл. 2). Оптимальное соотношение масс ступеней зависит от коэффициента тяговооруженности, представляющего собой отношение тяги двигателя к начальной массе ракеты. Поэтому для анализа влияния различных параметров ракеты на оптимальное соотношение масс ступеней обычно рассматривают скорость полета, определяемую с учетом величины коэффициента тяговооруженности. При баллистическом проектировании в качестве предварительных можно принимать соотношения масс ступеней, как в табл. 3. Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования – при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции. Формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т.д., с целью контроля достижения ракетой заданной скорости. Таблица 2 Приращение скорости ракеты № п/п Ступень ракеты Приращение скорости, % двухступенчатая трехступенчатая 1 Первая 40 27 2 Вторая 60 35 3 Третья – 38 Таблица 3 Соотношение масс ступеней ракеты Число ступеней Ракеты с ЖРД Ракеты с РДТТ 2 m_02=0,23 m_01 m_02=√(〖m_пн∙m〗_01 ) 3 m_03=0,33 m_02 m_02=0,23 m_01 m_03=∛(〖m_пн^2∙m〗_01 ) m_02=∛(〖m_01^2∙m〗_пн ) Элементы небесной механики Небесная механика – раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Небесная механика занимается предвычислением положения Луны и планет, предсказанием места и времени затмений, в общем, определением реального движения космических тел. Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы (обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых небесных тел). Тогда как перемещение далеких звёзд удается заметить, в лучшем случае, за десятилетия и века, движение членов Солнечной системы происходит буквально на глазах – за дни, часы и даже минуты. Поэтому его изучение стало началом современной небесной механики, рождённой трудами И. Кеплера (1571—1630) и И. Ньютона (1643—1727). Кеплер впервые установил законы планетного движения. Законы Кеплера Законы Кеплера – это три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом m_p⁄(m_S→0), где m_p, m_S – массы планеты и Солнца соответственно. Первый закон Кеплера (закон эллипсов) Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 36). Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением e=c/a, где c – расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a – большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c=0, и, следовательно, e=0 эллипс превращается в окружность. Второй закон Кеплера (закон площадей). Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади (рис.37). Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий – ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий – наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу. Третий закон Кеплера (гармонический закон) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет (это соотношение справедливо не только для планет, но и для их спутников): (T_1^2)/(T_2^2 )= (a_1^3)/(a_2^3 ), Где T_1 и T_2 – периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a_1 и a_2 – длины больших полуосей их орбит. Ньютон вывел из законов Кеплера закон всемирного тяготения и использовал законы движения и тяготения для решения небесно-механических проблем, не охваченных законами Кеплера. После Ньютона прогресс в небесной механике в основном заключался в развитии математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Таким образом, принципы небесной механики – это «классика» в том смысле, что и сегодня они такие же, как во времена Ньютона. Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен – в действительности в него входит и масса планеты: (T_1^2 (M+m_1 ))/(T_2^2 (M+m_2 ) )= (a_1^3)/(a_2^3 ), где M – масса Солнца, а m_1 и m_2 – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды. Применение результатов небесной механики к движению искусственных спутников и космических кораблей составляет астродинамику Астродинамика – раздел небесной механики, изучающий движение искусственных космических тел: искусственных спутников, межпланетных станций и других космических кораблей. В сферу задач астродинамики входят расчёт орбит космических кораблей, определение параметров их запуска, вычисление изменений орбит в результате манёвров, планирование гравитационных манёвров и другие практические задачи. Результаты астродинамики используются при планировании и проведении любых космических миссий. Астродинамика выделяется из небесной механики, которая изучает в первую очередь движение естественных космических тел под действием сил тяготения, своей ориентированностью на решение прикладных задач управления космическими кораблями. В связи с этим в астродинамике требуется учитывать и факторы, игнорируемые классической небесной механикой – влияние атмосферы и магнитного поля Земли, гравитационных аномалий, давления солнечного излучения и другие. Орбита (от лат. Orbita — колея, дорога, путь) – траектория движения материальной точки в наперёд заданной системе пространственных координат для заданной в этих координатах конфигурации поля сил, которые на неё действуют. В небесной механике это траектория небесного тела в гравитационном поле другого тела, обладающего значительно большей массой (планеты, кометы, астероида в поле звезды). В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс, траектория может иметь форму конического сечения (окружности, эллипса, параболы или гиперболы). При этом его фокус совпадает с центром масс системы. Долгое время считалось, что планеты должны иметь круговую орбиту. После долгих и безуспешных попыток подобрать круговую орбиту для Марса, Кеплер отверг данное утверждение и, впоследствии, используя данные измерений, сделанных Тихо Браге, сформулировал три закона, описывающих орбитальное движение тел. Кеплеровыми элементами орбиты являются (рис. 38): фокальный параметр p, большая полуось a, радиус перицентра и радиус апоцентра — определяют размер орбиты,