Механика полета: от основ до классификации ракет

при V ⃗_0=0 может быть записана, как: V_ц=I∙ln⁡〖m_н/m_к 〗, где: V_ц – конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата – скорость Циолковского; I=U – удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива), равный скорости истечения продуктов сгорания из сопла ракетного двигателя; m_н – начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо); m_к – конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция). Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней. Введем обозначения: m_1i – масса заправленной i-ой ступени ракеты; m_2i – масса i-ой ступени без топлива; I_i – удельный импульс двигателя i-ой ступени; m_0 – масса полезной нагрузки; n – число ступеней ракеты. Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде: V_ц=∑_(i=1)^n▒〖I_i∙ln⁡〖((m_0+∑_(j=1)^n▒m_1j )/(m_0+∑_(j=1)^n▒m_2j )).〗 〗 Системы координат Рассмотрим три системы координат: Стартовая система координат. Эта система связана с Землей (рис. 6) и вращается вместе с ней. Начало координат расположено в точке старта. Ось OYc направлена в сторону противоположную силе тяжести. Ось OXc перпендикулярна оси OYc и направлена в сторону цели. Ось OZc соответствует правой системе координат. Плоскость XcOYc называется плоскостью стрельбы. Связанная система координат. Представляет собой декартовую прямоугольную правую систему осей координат, неподвижную относительно ракеты (рис. 7) или ГЧ (рис. 8). Оси этой системы называют связанными осями. Начало связанной системы координат помещено в центр тяжести (или в центр масс) ракеты. Ось OX1 направлена по продольной оси ракеты в сторону ГЧ. Ось OY1 расположена в плоскости симметрии ракеты, которая в момент старта совпадает с плоскостью стрельбы (плоскостью XcOYc) стартовой системы координат. Ось OY1 направлена в сторону третьего, а ось OZ1 – в сторону четвертого стабилизатора. Для ГЧ направление осей OY1 и OZ1 удобно выбрать так, чтобы для ГЧ, состыкованной с ракетой, ось OY1 была направлена в сторону третьего стабилизатора, а ось OZ1 – в сторону четвертого. При установке ракеты на стартовый стол плоскость стабилизаторов I и III совпадает с плоскостью стрельбы, а стабилизатор I направлен в сторону цели. Связанная система координат иногда называется “подвижной” системой координат. Скоростная система координат. Это также декартовая, прямоугольная, правая система координат (рис. 9). Начало системы (точка О) расположено в центре тяжести ракеты. Ось OХn направлена по вектору скорости ракеты V ⃗. Ось OYn перпендикулярна OXn и лежит в плоскости симметрии ракеты OX1Y1. Ориентация ракеты относительно вектора скорости V ⃗ в общем случае определяется двумя углами: угол атаки α – это угол между проекцией вектора скорости V ⃗ на плоскость симметрии ракеты OX1Y1 и продольной осью ракеты OX1. угол скольжения β – это угол между вектором скорости V ⃗ и плоскостью ракеты OX1Y1. Силы и моменты, действующие на ракету в полете. Аэродинамические силы Силовое воздействие сплошной газообразной среды сводится к непрерывно распределенным по поверхности тела силам от нормальных напряжений и от касательных напряжений. Все аэродинамические силы, действующие на ракету в полете можно свести к одной результирующей силе RA (главная аэродинамическая сила), а также к результирующему моменту МА, действующему относительно центра масс ракеты. RA проходит через точку на продольной оси ракеты, которая носит название центр давления. Величина и направление RA и МА зависят от ряда факторов, в том числе: от угла атаки, плотности воздуха, скорости воздушного потока, аэродинамической формы ракеты и т.д. Известно, что RA в наибольшей степени, кроме формы ракеты, зависит от угла атаки α и от угла скольжения β. Для того, чтобы было удобно составлять уравнения движения, принято RA и МА раскладывать по осям систем координат (рис. 10). – По осям скоростной системы координат RA есть: R ⃗_A=X ⃗+Y ⃗+Z ⃗. Проекция RA на ось OXn (X ⃗) всегда отрицательна и носит название силы лобового сопротивления; Y ⃗ – подъемная сила; Z ⃗ – боковая сила. – По осям связанной системы координат RA есть: R ⃗_A=X ⃗_1+Y ⃗_1+Z ⃗_1. Здесь Х1 – продольная (осевая) сила; Y1 – нормальная сила; Z1 – поперечная сила. Баллистическая ракета является аэродинамически осесимметричным телом. Если продольная ось ракеты направлена по вектору скорости (т.е. α=β=0), то обтекание ракеты воздушным потоком будет симметричным относительно плоскости, проходящую через эту ось, т.е. Y1 = Y = 0; Z1 = Z = 0. Если ось ракеты образует с вектором скорости некоторый угол, то обтекание ракеты воздушным потоком будет симметричным относительно плоскости, проходящей через ось ракеты и вектор скорости. При этом RA и ее составляющие (X,X1,Y,Y1) будут лежать в этой плоскости, следовательно, для аэродинамики симметричной ракеты зависимости силы Z(Z1) от угла скольжения β аналогичны зависимостям силы Y(Y1) от угла атаки α. На основании теории аэродинамического подобия проекции аэродинамической силы на оси системы координат (связанной или скоростной) равны: X_1=C_x∙q∙S_M; X=C_τ∙q∙S_M; Y_1=C_y∙q∙S_M; X=C_n∙q∙S_M, где q=(ρ∙V^2)/2 – скоростной напор, действующий на ракету; ρ=ρ(h) – плотность воздуха на высоте полета; V – скорость ракеты; Sм – характерная площадь ЛА (для бескрылого ЛА или фюзеляжа это площадь наибольшего – миделевого сечения), которая для ракеты равна; S_M=(π∙D_м^2)/4, где Dм – диаметр цилиндрической части ракеты; C_x,C_τ,C_y,C_n – безразмерные аэродинамические коэффициенты. Аэродинамические коэффициенты зависят от формы ракеты, ее ориентации относительно вектора воздушной скорости (т.е. от величины углов α или β), а также от критериев аэродинамического подобия. Критериями аэродинамического подобия являются: – число Маха M=V/a; – число Рейнольдса Re=(V∙ρ∙l)/μ; здесь а = а(h) – скорость звука в воздушной среде на данной высоте; l – характерный размер ЛА (для ракеты – длина ракеты); μ=μ(h) – динамический коэффициент вязкости воздуха. Отличие реальной скорости ракеты от характеристической Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, то скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и др. Действительная скорость в конце активного участка траектории V_к должна рассчитываться с учетом этих потерь: V_к=V_ц-∆V_g-∆V_a-∆V_y. Формулу для расчета скорости V_к с учетом потерь называют иногда формулой Королева. В таблице 1 приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне. Таблица 1. Потери скорости Ступень Характери-стическая скорость, м/c Гравита-ционные потери, м/c Аэродинами-ческие потери, м/c Потери на управление, м/c Фактическая скорость, м/c V_ц ∆V_g ∆V_a ∆V_у V_к Первая (S-IC) 3660 1220 46 0 2394 Вторая (S-II) 4725 335 0 183 4207 Третья (S-IVB) 4120 122 0 4,5 3993,5 В сумме 12505 1677 46 187,5 10594,5 Как видно из таблицы 1, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле: ∆V_g=∫_0^t▒〖g(t)∙cos⁡(γ(t)) 〗 dt, где g(t) и γ(t) – местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение cos⁡(γ(t)) близко к максимальному значению – 1. Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле: ∆V_a=∫_0^t▒X(t)/m(t) dt, где X(t) – сила лобового аэродинамического сопротивления, а m(t) – текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты Сатурн V, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы. Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами. Система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле: ∆V_у=∫_0^t▒F(t)/m(t) ∙(1-cos⁡(α(t)) )dt, где F(t) – текущая сила тяги двигателя, m(t) – текущая масса ракеты, а α(t) – угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты Сатурн V приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный (участок разворота ракеты), и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты. Особенности аэродинамических характеристик При небольших углах атаки (α≤10°) коэффициент продольной силы (или силы лобового сопротивления) С_τ (С_x ) мало зависит от угла атаки, а коэффициент нормальной (подъемной) силы С_n (С_y ) пропорционален углу атаки, т.е. С_n=C_n^α∙α, С_y=C_y^α∙α, где C_n^α,C_y^α – частные производные от соответствующих коэффициентов по углу атаки. Производная C_n^α зависит главным образом от числа Маха. В области околозвуковых скоростей (число М = 1) коэффициент C_n^α ракеты имеет максимальное значение, а в дальнейшем с увеличением числа Маха понижается, стремясь к некоторой постоянной величине. Для углов атаки  до 10о … 15о с точностью до 1…2 % расчетная зависимость для суммарного коэффициента нормальной силы имеет вид C_n=2αS ̅_дн+c 4/π (λ_ц+λ_хв )∙α^2, где λ_ц и λ_хв – удлинение цилиндрической и хвостовой (кормовой) части корпуса λ=L/d_m , d_m – диаметр миделевого сечения (цилиндра – для корпуса ракеты), S ̅_дн – площадь донного среза ракеты, отнесенная к площади миделя. Величину коэффициента с при прикидочных расчетах можно выбрать, исходя из следующих условий: а) для турбулентного течения с = 0,35; б) для фюзеляжей самолетов и крупных ракетных снарядов в среднем с = 0,5 (на большей части поверхности пограничный слой турбулентный, а в передней части снаряда – ламинарный); в) при числах М_∞>1,5 можно считать с = 1,2. С_τ – зависит от формы ракеты, от угла атаки, от числа Маха и от числа Рейнольдса. Т.к. скорость звука а и коэффициент вязкости воздуха μ зависят от высоты полета, то при данной скорости полета ракеты V ,число Маха М и число Рейнольдса Re, а с ними C_n^α и С_τ будут изменяться с высотой полета. Причем C_n^α изменяется слабо, а С_τ – существенно. Одной из составляющих силы лобового сопротивления, проявляющей себя при любых скоростях полета, является сила трения поверхности ЛА о воздушную среду. Величина коэффициента силы трения зависит от вязкости воздуха (т.е. от высоты полета) и скорости движения ЛА. Причем характер влияния их на С_τ (С_x ) противоположен: чем больше скорость движения (число Маха), тем меньше величина коэффициента сопротивления трения и наоборот – чем больше высота полета, тем больше С_τ (С_x ). Другой составляющей С_τ (С_x ) при сверхзвуковых скоростях полета (М > 1) является коэффициент волнового сопротивления, величина которого с ростом числа Маха быстро уменьшается. Характерная зависимость суммарного коэффициента сопротивления от числа Маха приведена на рис. 11. Как видно, наибольшая величина С_x соответствует околозвуковому диапазону скоростей. Горб сопротивления обусловлен волновым сопротивлением, максимум которого приходится на этот, переходный диапазон околозвуковых скоростей Подводя итог можно сказать: действующие аэродинамические силы зависят от формы и размеров ракеты, от угла атаки α, от высоты h и скорости полета ракеты V. Аэродинамические моменты Известно, что аэродинамические силы, действующие на ракету, можно свести к одной результирующей силе RA. Точка, лежащая на продольной оси ракеты, через которую проходит линия действия результирующей аэродинамической силы, носит название центр давления. Для удобства анализа действия сил, приложенных к ракете, рассмотрим плоскую задачу, т.е. при β = 0. При составлении уравнения движения ракеты исходим из того, что все силы, действующие на ракету, приложены к центру тяжести (центру масс) ракеты (рис.12). Тогда полный аэродинамический момент равен M ⃗_A=Y ⃗_(1∙) (x_т-x_д ). В проекциях на оси связанной системы координат: M ⃗_A=M ⃗_X1+M ⃗_Y1+M ⃗_Z1 M ⃗_X1 – момент крена; M ⃗_Y1 – момент рысканья; M ⃗_Z1 – момент тангажа. Величина и направление M ⃗_A зависит от ряда факторов: – от положения центра давления; – от скорости движения ракеты; – от угловой скорости вращения ракеты. Положение центра давления в общем случае зависит от формы ракеты, числа Маха и от угла атаки. Если ракета не имеет стабилизаторов (рис.13б), то центр давления находится в центре тяжести (ориентировочно, в первом приближении). В схеме со стабилизаторами (рис.13а) центр давления смещается к хвостовой части. В первом приближении можно считать, что положение центра давления остается постоянным, если угол атаки α изменяется в некоторой малой окрестности своего нулевого значения. Коэффициент центра давления длинных тел Рассмотрим расчетную схему нахождения положения центра давления тела вращения, состоящего из нескольких отсеков разного типа. Расчленим это тело на такие элементы, для каждого из которых известны создаваемая им нормальная сила и точка ее приложения (рис.14). Для конических головных частей центр давления расположен на расстоянии 2/3 высоты от вершины конуса. Считаем, что цилиндрическая часть вся в равной мере создает нормальную силу, и точка ее приложения лежит в центре цилиндра. Поскольку хвостовые нецилиндрические отсеки имеют малые углы конусности, то в первом приближении можно считать, что и для них центр давления расположен в геометрическом центре отсека. Тогда суммарная нормальная сила для всего корпуса тела вращения, изображенного на рис.14, равна N=N_г+N_ц+N_хв, где N_г,N_ц,N_хв – нормальные силы, создаваемые головной, цилиндрической и хвостовой частями. Вычислим сумму моментов всех сил относительно носка тела вращения (точки О): N∙x_цд=N_г∙x_цд^г+N_ц∙x_цд^ц±N_хв∙x_цд^хв, где x_цд, x_цд^г, … – координаты центров давления указанных частей корпуса ЛА. Знак «+» составляющей момента от N_хв соответствует расширяющейся, а «-» – сужающейся хвостовой части. Переходя к коэффициентам сил и относительным координатам, имеем: x ̅_цд=1/c_N (c_N^г∙x_цд^г+c_N^ц∙x_цд^ц±c_N^хв∙x_цд^хв ), где x ̅_цд=x_цд/x_к , а коэффициенты c_N^i нормальных сил определяются обычным образом. Демпфирующий момент При вращательном движении ракеты в воздушной среде, сопротивление воздушной среды вращению проявляется в виде аэродинамического момента, который называют демпфирующим моментом. Демпфирующий момент всегда направлен в сторону противоположную вращению и стремится погасить угловую скорость вращения. Величина момента зависит от угловой скорости вращения и от ее ориентации относительно ракеты. Полный демпфирующий момент можно разложить на три составляющие по осям OX1, OY1, OZ1. M_ДX1=m_X1^(ω_X1 )∙q∙S∙D_р/V∙ω_X1 M_ДY1=m_Y1^(ω_Y1 )∙q∙S∙L_р/V∙ω_Y1 M_ДZ1=m_Z1^(ω_Z1 )∙q∙S∙L_р/V∙ω_Z1 Здесь Dp – диаметр ракеты, Lp – длина ракеты, V – скорость движения ракеты, q – cкоростной напор, S – площадь миделя ракеты, ω_X1, ω_Y1,ω_Z1 – проекции угловой скорости ракеты относительно осей связанной системы координат, m_X1^(ω_X1 ),m_Y1^(ω_Y1 ),m_Z1^(ω_Z1 ) – коэффициенты моментов относительно этих осей (всегда отрицательные), их величины зависят от формы ракеты, от положения центра тяжести и от числа Маха. Управляющие силы и моменты Известно, что общее движение ракеты или ЛА можно разделить на движение центра масс и движение ЛА вокруг собственного центра масс. Поэтому задачу управления полетом ЛА можно разделить на две части: – управление движением центра масс, т.е. изменение величины и направления вектора скорости; – управление вращательным движением относительно центра масс. В общем случае в полете на ракету действуют следующие силы: G – вес ракеты; RA – полная аэродинамическая сила; Р – сила тяги. Примечание: При старте на ракету могут действовать силы реакции стартовых устройств. Для изменения траектории полета нужно изменить величину и направление равнодействующей всех этих трех сил. Т.к. на силу тяжести влиять невозможно, то управлять полетом можно лишь изменяя величину и направление RA и Р (рис. 15). Заменим эти две силы равнодействующей: N ⃗=R ⃗_A+P ⃗. Разложим ее на нормальную и касательную составляющие к траектории движения ЛА: N ⃗=N ⃗_n+N ⃗_τ. В проекции на касательную к траектории движения ЛА: N_τ=P_τ-X. Изменение N_τ достигается (и в баллистических расчетах также) изменением тяги